什么是黑白运算？
“黑白运算”是一种特殊的数字推理规律，它指的是，在一个数列中，相邻的几个数字经过特定的“加、减、乘、除”四则运算后，得到的结果等于数列中相隔一定位置的另一个数字。
这里的“黑”和“白”并不是指颜色，而是为了方便理解而引入的两个概念：
- “黑”：指代参与运算的数字。
- “白”：指代运算后得到的、作为结果的数字。
最常见的黑白运算模式是“两黑运算得白”或“一黑一白运算得黑”。
核心解题思路
解黑白运算题的核心思路是“凑”，具体步骤如下：
- 观察数列：快速浏览数列，判断它是否是等差、等比、幂次、递推等常见规律，如果这些规律不明显，或者数字变化非常“无厘头”，那么就要考虑黑白运算。
- 定位“白”位：找到一个看起来比较“特殊”的数字作为突破口，这个“白”位数字通常是：
- 一个非常小的数（如 0, 1）。
- 一个非常特殊的数（如质数、合数）。
- 或者,通过简单观察，感觉是由前面数字运算得出的。
- 尝试“凑”关系：以“白”位数字为结果，用它前面的两个（或三个）数字作为“黑”位，尝试进行四则运算，看看是否能得到这个“白”位数字。
- 基本运算：, , , 。
- 复合运算：
A + B = C，A - B = C，A × B = C，A ÷ B = C。 - 运算顺序：可能是
(A op1 B) op2 C = D这样的三步运算。
- 验证规律：一旦找到一个可能的运算关系，就用这个规律去验证数列中的其他部分，如果从第二项开始，每一项都符合这个规律，那么你就找到了正确答案。
- 求解未知项：用已经验证通过的规律，去计算数列末尾的未知项。
经典题型与例题解析
两黑运算得白 (最常见)
这种模式通常是：前两个数字（黑）经过运算，得到第三个数字（白）。
【例题1】 数列： 1, 2, 3, 5, 8, 13, ( )
【解析】
- 观察数列：1, 2, 3, 5, 8, 13... 这个数列看起来像是简单的加法，但
1+2=3符合，2+3=5也符合，3+5=8也符合，乍一看像是斐波那契数列（前两项之和等于第三项）。 - 深入验证：如果规律是
A + B = C，5 + 8应该等于13，确实等于，这个规律似乎完美。 - 得出结论：这个题目的规律确实是“前两项之和等于第三项”，那么下一项就是
8 + 13 = 21。 - 反思：为什么这个题要叫“黑白运算”？因为它完美地符合“两黑（1和2）运算（加）得白（3）”的模式，在更复杂的题目中，规律可能不是简单的加法，而是其他运算。
【例题2】 数列： 2, 7, 14, 25, 40, ( )
【解析】
- 观察数列：数列单调递增，但增幅不稳定（5, 7, 11, 15），不是等差也不是等比，斐波那契式的简单加法（2+7≠14）也不成立，考虑黑白运算。
- 定位“白”位：我们暂时不确定哪个是“白”位，就从前往后尝试。
- 假设前两项是“黑”：用
2和7去凑14。2 + 7 = 9(≠14)7 - 2 = 5(≠14)2 × 7 = 14(等于！)
- 我们发现一个可能的规律：前两项相乘等于第三项。
- 假设前两项是“黑”：用
- 验证规律：
7 × 14 = 98，但第四项是25，规律不成立。- 说明我们的初步假设是错的,或者运算关系更复杂。
- 重新尝试“凑”关系：让我们尝试一个更复杂的运算，
(A + B) × 某个数。- 用
2和7凑14：(2 + 7) × ? = 14->9 × ? = 14，不是整数，排除。 - 用
7和14凑25：(7 + 14) × ? = 25->21 × ? = 25，也不是整数。 - 尝试
A × B + C的形式。
- 用
- 寻找新思路：我们再观察一下增幅：5, 7, 11, 15，这些增幅本身有什么规律？
7-5=2,11-7=4,15-11=4... 增幅的增幅是2, 4, 4... 也不太明显。 - 回到黑白运算（三步运算）：让我们尝试
A + B × C这样的模式，这种运算会有一个固定的“系数”。- 用
2和7凑14：2 + 7 × ? = 14->7 × ? = 12，不行。 - 用
7和14凑25：7 + 14 × ? = 25->14 × ? = 18，不行。 - 尝试
A × B + C的形式，但C是谁呢？可能是位置数？或者一个固定数？
- 用
- 正确解法（经典黑白模式）：让我们换一种“凑”法，观察
2, 7, 14。2 × 3 + 7 = 6 + 7 = 13(≠14)2 × 4 + 7 = 8 + 7 = 15(≠14)2 × 5 + 7 = 10 + 7 = 17(≠14)- 等等，我们可能想复杂了。 让我们重新审视，可能不是
A和B运算得到C，而是A和C运算得到B？ - 用
2和14凑7：(2 + 14) / 2 = 8(≠7)，14 - 2 = 12(≠7)，14 / 2 = 7(等于！)
- 提出假设：规律可能是
C = A × 2？不对，7 × 2 = 14成立，但2 × 2 = 4≠7。 - 最终解法（隔项运算）：规律可能是
偶数项 = 前一个奇数项 × 2 + 1？2×2+1=5≠7，不对。 - 回到最开始的“凑”：让我们用
A和B去凑C，但这次考虑A和B的和。2 + 7 = 9。9和14有什么关系？14 - 9 = 5。7 + 14 = 21。21和25有什么关系？25 - 21 = 4。14 + 25 = 39。39和40有什么关系？40 - 39 = 1。- 得到的差是
5, 4, 1... 没有明显规律。
- 经典解法（最终答案）：这个题目的规律其实是
C = A + B + (A的位数)，这是一种非常规的运算，但在国考中可能出现。2(1位) +7(1位) +1(2的位数) =10(≠14)，不对。
- 最可能的规律（修正版）：让我们重新尝试
A + B的和。2 + 7 = 9。9怎么变成14？9 + 5 = 14，这个5是2+3？还是7-2？7 + 14 = 21。21怎么变成25？21 + 4 = 25。14 + 25 = 39。39怎么变成40？39 + 1 = 40。- 看起来是
C = A + B + X。X的值是5, 4, 1，这个X序列本身没有规律，说明这个思路可能错了。
- 正确且简单的规律：经过反复尝试，我们发现这个题目的规律是
C = A + B + (A的位数)的变体，或者更简单的，规律是C = A + B + (项数-1)。- 第三项：
2 + 7 + (3-1) = 9 + 2 = 11(≠14)，不对。 - 正确规律：
C = A + B + (A的位数)2(1位) +7(1位) +1(2的位数) =10(≠14)，还是不对。
- 第三项：
让我们换一个思路，这个题目的标准解法是：
第三项 = 第一项 × 2 + 第二项
2 × 2 + 7 = 4 + 7 = 11(≠14)，也不对。
看来我构造的这个例题有点刁钻，我们换一个更经典的黑白运算例题。
【经典例题3】
数列： 3, 5, 11, 21, 43, ( )
【解析】
- 观察数列：3, 5, 11, 21, 43... 增幅为 2, 6, 10, 22，增幅本身也在增加，但增幅的增幅是 4, 4, 12... 规律不明显，考虑黑白运算。
- 定位“白”位：从
11开始看。11是由3和5怎么算出来的？3 + 5 = 8(≠11)5 - 3 = 2(≠11)3 × 5 = 15(≠11)3 × 5 - 4 = 11(可以，但引入了-4这个数)
- 尝试“凑”关系：让我们尝试一个更简单的模式。
11和3,5的关系是什么？3 × 2 + 5 = 6 + 5 = 11(等于！)
- 提出假设：规律可能是
C = A × 2 + B。 - 验证规律：
- 用
5和11验证第四项21：5 × 2 + 11 = 10 + 11 = 21(等于！) - 用
11和21验证第五项43：11 × 2 + 21 = 22 + 21 = 43(等于！)
- 用
- 规律确认：规律完全成立！这是一个典型的“两黑运算得白”的变形，运算方式是
(前一项 × 2) + 再前一项。 - 求解未知项：
- 未知项 =
21 × 2 + 43 = 42 + 43 = 85。 - 所以答案是 85。
- 未知项 =
黑白运算的常见变形
- 位置参与运算：运算中会加入项数（如第n项）。
aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁ + n。
- 运算方式复杂：可能是
(A + B) × C或A × B - C的形式。3, 5, 16, 79, ...规律可能是5 = (3+1) × 2，16 = (5+1) × 2.5（小数，可能性低），或者5 = 3×2 -1，16 = 5×3 +1，79 = 16×5 -1，这种需要观察运算符号和数值的变化。
- “一黑一白”得“黑”：
A（黑）和C（白）运算得到B（黑）。2, 6, 3, 12, 6, 24, ...规律是6 = 2 × 3，12 = 3 × 4，24 = 6 × 4，这里B = A × C。
备考建议
- 大量练习：黑白运算没有固定的公式，核心是“凑”，只有通过大量真题练习，培养对数字的敏感度和“凑”数的速度。
- 掌握核心思路：牢记“定位白位，尝试凑数，验证规律”这个流程。
- 保持耐心和灵活：不要被一种思路困住。
A+B=C不行，就试试A-B=C，再试试A×B=C，最后试试A×2+B=C，大胆尝试，小心验证。 - 总结规律：做错的题或者经典的题，要总结出常见的运算模式，前一项×2+再前一项”、“前一项×3-再前一项”等，形成自己的“题库”。
黑白运算是数字推理中的“大魔王”，但一旦掌握其精髓，就能成为你行测提分的有力武器，祝你备考顺利！
