什么是尾数法？

尾数法是一种利用数学运算中“和、差、积、幂”的运算结果，其末位数字（即尾数）由参与运算的数字的尾数唯一确定的特性,来快速解题的技巧。

只计算每个数字的末一位，进行运算，得到结果的末一位，再与选项对比，从而选出正确答案。

这种方法的核心思想是“化繁为简”，将复杂的、大数字的计算，简化为对个位数进行计算,极大地节省了考试时间。

尾数法的核心原理

1. 加法/减法： 和/差的尾数，等于各个加数/被减数、减数尾数相加/相减的尾数。

   • ...3 + ...8 = ...1 (因为 3+8=11,尾数是1)
   • ...5 - ...7 = ...8 (因为 5-7=-2，尾数是8,即借位后的结果)

2. 乘法/乘方： 积/幂的尾数，等于各个乘数/底数尾数相乘的尾数。

   • ...4 × ...5 = ...0 (因为 4×5=20,尾数是0)
   • ...9² = ...1 (因为 9×9=81,尾数是1)
   • ...7³ = ...3 (因为 7×7=49 → 尾数9，再 9×7=63 → 尾数3)

3. 混合运算： 在一个混合算式中,可以只计算最终结果的尾数。

   
   （图片来源网络，侵删）
   • (...3 + ...4) × (...5 - ...1) = ...7 × ...4 = ...8

尾数法的适用题型

尾数法主要适用于以下两种情况：

直接计算尾数

这是尾数法最直接的应用，当题目要求计算一个复杂算式的结果，并且选项的尾数各不相同时,我们可以只计算尾数来锁定答案。

【经典例题1】（直接计算）

2025 × 2025 × 2025 × 2025 的值的个位数是：

A. 0
B. 2
C. 4
D. 6

【解析】 这道题如果直接计算，几乎是不可能完成的任务,我们使用尾数法：

1. 提取每个乘数的尾数：9, 0, 1, 2
2. 从左到右计算尾数：
   • 9 × 0 = 0 (尾数是0)
   • 0 × 1 = 0 (尾数是0)
   • 0 × 2 = 0 (尾数是0)
3. 整个乘积的尾数是0。
4. 对比选项,只有A选项的尾数是0。

【答案】A

【经典例题2】（混合运算）

7³ + 8² + 9 + 10 的个位数是：

A. 0
B. 2
C. 4
D. 6

【解析】

1. 分别计算每一项的尾数：
   • 7³ 的尾数：7 × 7 = 49 (尾数9)，9 × 7 = 63 (尾数 3)
   • 8² 的尾数：8 × 8 = 64 (尾数 4)
   • 9 的尾数是 9
   • 10 的尾数是 0
2. 将这些尾数相加：3 + 4 + 9 + 0 = 16
3. 和的尾数是 6。
4. 对比选项,D选项的尾数是6。

【答案】D

估算比较大小

要求比较两个或多个算式的大小关系，且算式非常复杂时,可以通过比较它们的尾数来辅助判断。

【经典例题3】（比较大小）

比较 M = 12345 × 67890 和 N = 12344 × 67891 的大小关系。

A. M > N
B. M < N
C. M = N
D. 无法确定

【解析】 这道题用常规方法计算量巨大,我们尝试用尾数法来寻找突破口。

1. 计算 M 的尾数：5 × 0 = 0，M 的尾数是 0。
2. 计算 N 的尾数：4 × 1 = 4，N 的尾数是 4。
3. 因为 M 的尾数是0，N 的尾数是4，M 一定小于 N。

【答案】B

尾数法的使用技巧与注意事项

1. 看选项！看选项！看选项！

   • 最关键的一步！ 在决定使用尾数法之前,一定要快速扫一眼选项。
   • 适用前提： 选项的尾数各不相同，如果两个或多个选项的尾数相同，尾数法就无法帮你唯一锁定答案，此时可能需要结合其他方法（如首数法、放缩法等）。

2. 巧用“0”和“5”

   • 遇到0： 在乘法或乘方运算中，只要有一个乘数的尾数是0，那么整个结果的尾数必然是0,这是一个非常快的判断。
   • 遇到5： 5的任何正整数次方的尾数都是5。5¹=5, 5²=25, 5³=125...

3. 处理负数

   • 在减法中，如果被减数的尾数小于减数的尾数（如 ...3 - ...5），需要“借位”，计算方法可以看作 (被减数尾数 + 10) - 减数尾数。
   • ...3 - ...5 的尾数计算为 (3 + 10) - 5 = 8。

4. 处理混合运算

   遵循“先乘方，再乘除，后加减”的运算顺序,只对尾数进行相应运算即可。

尾数法的局限性

尾数法不是万能的,它有其明显的局限性：

• 不能确定具体数值： 尾数法只能告诉你答案的最后一位是什么,无法确定整个数值的大小。
• 选项尾数相同时失效： 如果选项的尾数相同（A. 123, B. 223, C. 323, D. 423）,尾数法就完全没用了。
• 不适用于除法、开方等运算： 尾数法在除法中没有固定的规律，不适用,开方也基本不适用。

尾数法是行测数量关系和资料分析中性价比极高的技巧，它将复杂的计算简化为个位数的游戏，是“秒杀”题目的利器。

备考建议：

1. 熟练掌握1-9的平方、立方的尾数，这是使用尾数法的基础。
   • 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=6, 5²=5, 6²=6, 7²=9, 8²=4, 9²=1
   • 1³=1, 2³=8, 3³=7, 4³=4, 5³=5, 6³=6, 7³=3, 8³=2, 9³=9
2. 养成看选项的习惯,快速判断尾数法是否适用。
3. 通过大量练习，将尾数法的应用内化成一种条件反射,真正在考场上为你节省宝贵的时间。

希望这份详细的讲解能帮助你彻底掌握尾数法！祝你国考成功！