什么是抽屉原理？

抽屉原理,又称“鸽巢原理”，是一个简单而深刻的组合数学原理，它的核心思想是：将多于 n 个的物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉里会有不少于两个物体。

这个原理看似简单,但背后蕴含着“最坏情况”、“极端思想”和“保证问题”的数学思维，是国考中考察逻辑思维能力的经典题型。

核心解题思想

抽屉原理问题本质上是求“保证”的问题，它问的不是“可能怎样”，而是“至少”、“必然”、“保证”会发生什么情况。

解题的关键在于构造“最坏的情况”，即尽可能让每个抽屉里的物体数量都平均，然后再多一个，就能保证满足题目要求。

常见题型与解题方法

国考中的抽屉原理问题主要分为以下几类：

基础型（最简单）

核心公式：

把 m 个物体放入 n 个抽屉中。 m > n，那么至少有一个抽屉里至少有 2 个物体。 更一般地，至少有一个抽屉里有 ⌈m/n⌉ 个物体。（⌈x⌉表示对 x 向上取整）

解题步骤：

1. 识别“物体”和“抽屉”：明确什么是要放的“物体”，什么是盛放物体的“抽屉”。
2. 确定 m 和 n：计算物体的总数 m 和抽屉的数量 n。
3. 应用公式：计算 ⌈m/n⌉ 的值，即为所求。

示例： 有 13 名学生，至少有几名学生的生日在同一个月？

• 分析：13 名学生是“物体”，12 个月份是“抽屉”。
• m = 13, n = 12。
• 计算：⌈13 / 12⌉ = ⌈1.08...⌉ = 2。
• 至少有 2 名学生的生日在同一个月。

至少...问题（最常见）

这类问题问的是“至少有多少个物体具有某种共同属性”，解题时，我们通常先构造“最坏的情况”，即让每个属性上的物体数尽可能少，然后再加一。

解题步骤：

1. 构造最坏情况：假设每个抽屉（或类别）都分到了尽可能少的物体，通常是“平均分配”或“差1分配”。
2. 加一：在最坏情况的基础上，再多放一个物体，就必然能打破这个“最坏”的局面，从而满足“至少”的条件。
3. 公式：至少数 = (总数 - 1) ÷ 抽屉数 + 1

示例： 一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色的袜子各 10 只，最少要拿出多少只，才能保证有 2 双（4 只）同色的袜子？

• 分析：这比“保证有2只同色”要复杂，我们需要构造“最坏情况”，让袜子尽可能不满足“2双同色”的条件。
• 构造最坏情况：为了不凑成2双，每种颜色的袜子最多只能拿 3 只（拿4只就是2双了），最坏的情况是拿了 3 只红、3 只黄、3 只蓝。
• 计算：此时已经拿了 3 + 3 + 3 = 9 只袜子，但还没有凑成2双同色的。
• 加一：此时再拿任意一只袜子（第10只），这只袜子的颜色必然是红、黄、蓝中的一种，假设它是红色，那么红色袜子就变成了 3 + 1 = 4 只，即凑成了2双。
• 至少要拿出 10 只袜子。

多个抽屉/多重分类问题

当问题涉及多个维度或多个分类标准时,需要更精细地构造“最坏情况”。

示例： 某单位组织员工去春游，有 120 名员工，每位员工至少参加篮球、足球、乒乓球中的一项，已知参加篮球的有 50 人，参加足球的有 60 人，参加乒乓球的有 70 人，问：三项都参加的员工至少有多少人？

• 分析：这是典型的“容斥原理”与“抽屉原理”结合的题目，我们可以用“最坏情况”思想来求解“至少”的问题。
• 解题思路：为了使“三项都参加的人数（A∩B∩C）”尽可能少，就要让只参加两项的人数尽可能多。
• 计算：
  1. 总人数 = 只参加篮球 + 只参加足球 + 只参加乒乓球 + 只参加篮球和足球 + 只参加篮球和乒乓球 + 只参加足球和乒乓球 + 三项都参加。
  2. 为了让 A∩B∩C 最小，我们让 只参加篮球和足球、只参加篮球和乒乓球、只参加足球和乒乓球 这三个部分尽可能大。
  3. 根据容斥原理,参加至少一项的总人数 = 参加篮球 + 参加足球 + 参加乒乓球 - (参加篮球和足球 + 参加篮球和乒乓球 + 参加足球和乒乓球) + 三项都参加。
  4. 我们设 x = 三项都参加的人数，y = 只参加两项的人数之和。
  5. 总人数 = (50 - y1 - x) + (60 - y2 - x) + (70 - y3 - x) + y1 + y2 + y3 + x = 180 - 2x。
  6. 这个式子表示,总人数等于 180 减去两倍的“三项都参加的人数”。
  7. 因为总人数是 120，180 - 2x ≥ 120。
  8. 解得：2x ≤ 60，x ≤ 30，这给出了“三项都参加”人数的上限。
  9. 但题目问的是“至少”有多少人，我们需要换一种思路。
  10. 重新思考（最坏情况）：为了使 x 最小，我们让参加两项的人数 y 尽可能大。y 的最大值是多少？不能超过参加每一项的人数之和减去总人数。y ≤ (50+60+70) - 120 = 60。
  11. 现在我们用另一种公式：A∪B∪C = A+B+C - (A∩B + A∩C + B∩C) + A∩B∩C。
  12. A∩B + A∩C + B∩C (这里指至少参加两项的人数) = y + x。
  13. 120 = 50 + 60 + 70 - (y + x) + x。
  14. 120 = 180 - y，解得 y = 60，这说明，参加至少两项的人数总和正好是 60。
  15. 现在我们来分配这 60 人，为了让 x 最小，我们把 60 人全部分配到“只参加两项”中去。
  16. 只参加篮球和足球 ≤ min(50, 60) = 50 只参加篮球和乒乓球 ≤ min(50, 70) = 50 只参加足球和乒乓球 ≤ min(60, 70) = 60
  17. 我们可以把 60 人全部放入 只参加足球和乒乓球 中（这是允许的，因为60≤60）。
  18. 只参加足球和乒乓球 = 60，其他“只参加两项”的人数为 0。
  19. 只参加篮球的人数 = 50 - 0 - 0 = 50。 只参加足球的人数 = 60 - 60 - 0 = 0。 只参加乒乓球的人数 = 70 - 60 - 0 = 10。
  20. 检查总人数：50 (只篮球) + 0 (只足球) + 10 (只乒乓球) + 60 (只足乒) = 120，完美。
  21. 在这种分配下,三项都参加的人数 x = 0。
  22. 三项都参加的员工至少有 0 人。（这个题比较特殊，说明至少可以为0）

这个例子比较复杂,国考中更常见的是以下类型：

简化版多重分类示例： 有 100 名学生，他们参加的兴趣小组有数学、语文、英语三种，已知参加数学的有 60 人，参加语文的有 50 人，参加英语的有 40 人，问：三项都参加的学生至少有多少人？

• 分析：同样用最坏情况思想，让只参加两项的人尽可能多。
• 计算：
  1. 参加至少一项的总人数 = 参加数学 + 参加语文 + 参加英语 - (参加两项的人数) + (参加三项的人数)。
  2. 为了让“参加三项的人数”最小，就要让“参加两项的人数”最大。
  3. “参加两项的人数”的最大值是多少？不能超过任意两项人数之和，最大可能值为 min(60+50, 60+40, 50+40) = min(110, 100, 90) = 90。
  4. 我们假设“参加两项的人数”为 90。
  5. 根据容斥原理：100 = 60 + 50 + 40 - 90 + x。
  6. 100 = 60 + x，解得 x = 40。
  7. 三项都参加的学生至少有 40 人。

国考真题思路解析

虽然很难找到完全一模一样的真题,但很多数量关系题都蕴含了抽屉原理的思想。

模拟真题 1： 在一个 8x8 的国际象棋棋盘上，至少要放置多少个皇后，才能保证必然有两个皇后处于同一行或同一列？

• 分析：8x8的棋盘有 8 行 8 列。
• 构造最坏情况：为了不让两个皇后在同一行或同一列，我们可以把皇后放在不同的行和不同的列，这就像一个排列组合问题，最多可以放置 8 个皇后，且互不同行也不同列（主对角线上的8个格子）。
• 加一：此时已经放置了 8 个皇后，且不满足“同行或同列”，当我们放置第 9 个皇后时，它必然要放在某一行和某一列，由于8行和8列都已经被占用了，所以它必然与之前某个皇后同行或同列。
• 至少需要放置 9 个皇后。

模拟真题 2： 某单位要从 10 名党员和 8 名非党员中选出 5 人组成一个考察团，为保证考察团中至少有 2 名党员，问选法总数最少有多少种？

• 分析：这是一个组合问题，但可以用抽屉原理的思想来思考“保证”的含义。
• 问题转化：“保证至少有2名党员”的反面是“最多有1名党员”，为了使满足条件的选法总数“最少”，我们就要让不满足条件的情况（即最多有1名党员）的选法数“最多”。
• 计算不满足条件的情况数：
  1. 0名党员,5名非党员：C(10, 0) * C(8, 5) = 1 * 56 = 56 种。
  2. 1名党员,4名非党员：C(10, 1) * C(8, 4) = 10 * 70 = 700 种。
  3. 不满足条件的总选法数 = 56 + 700 = 756 种。
• 计算总选法数：从18人中选5人，C(18, 5) = 8568 种。
• 计算满足条件的选法数：总选法数 - 不满足条件的选法数 = 8568 - 756 = 7812 种。
• 为了保证考察团中至少有2名党员,选法总数最少有 7812 种。（这个题比较绕，但体现了“保证”问题的另一种思考方式）

备考建议

1. 抓住核心：牢记抽屉原理是解决“保证”问题的，核心思想是“构造最坏情况，再加一”。
2. 分清对象：在做题时，第一反应就是分清谁是“物体”，谁是“抽屉”，这是解题的起点。
3. 掌握基础：对于最简单的“至少2个”和“至少⌈m/n⌉个”的问题，要能快速反应和应用公式。
4. 勤加练习：重点练习“至少...问题”和涉及分类的复杂问题，通过做题，体会如何构造“最坏情况”。
5. 结合其他知识：抽屉原理经常与排列组合、容斥原理结合出题，要能灵活运用综合知识。

抽屉原理在国考中属于“性价比”很高的知识点，一旦掌握其核心思想，相关的题目通常都能迎刃而解，希望这份详细的梳理能对你的备考有所帮助！